P,Q,R তিনটি বল ABC ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র I বিন্দুতে যথাক্রমে IA, IB, IC রেখা বরাবর ক্রিয়া করে সামাবস্থায় আছে তাহলে P:Q:R এর মান কত?

Created: 4 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

cos 2A:cos 2B: cos 2C
খ

cos A:cos B: cos C
গ

cos $\frac{A}{2}$ :cos $\frac{B}{2}$ : cos $\frac{C}{2}$
ঘ

sin A:sin B:sin C
ঙ

sin $\frac{A}{2}$ :sin $\frac{B}{2}$ : sin $\frac{C}{2}$

উচ্চতর গণিত বহুবিধ বলের কার্যকারিতা KUET - 2016

ব্যাখ্যাঃ

যখন তিনটি সমতলীয় বল একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় থাকে, তখন ল্যামির উপপাদ্য (Lami's Theorem) প্রয়োগ করা যায়। ল্যামির উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি বল অন্য দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমানুপাতিক হয়।

এখানে P, Q, R তিনটি বল ABC ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র I বিন্দুতে যথাক্রমে IA, IB, IC রেখা বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় আছে।

আমরা জানি যে, ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র (incenter) হলো কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু। অর্থাৎ, IA, IB, IC হলো যথাক্রমে কোণ A, B, C-এর সমদ্বিখণ্ডক।

এখন, IA, IB এবং IC রেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণগুলি নির্ণয় করতে হবে:

১. $\angle BIC$: ত্রিভুজ BIC-এ,

$\angle IBC = \frac{B}{2}$ এবং $\angle ICB = \frac{C}{2}$

সুতরাং, $\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB)$

$\angle BIC = 180^\circ - \left(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}\right)$

$\angle BIC = 180^\circ - \frac{B+C}{2}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $(A+B+C = 180^\circ)$। অতএব, $B+C = 180^\circ - A$।

তাহলে, $\angle BIC = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2}$

$\angle BIC = 180^\circ - 90^\circ + \frac{A}{2}$

$\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$

২. একইভাবে, $\angle AIC = 90^\circ + \frac{B}{2}$

৩. এবং, $\angle AIB = 90^\circ + \frac{C}{2}$

ল্যামির উপপাদ্য অনুযায়ী:

\[ \frac{P}{\sin(\angle BIC)} = \frac{Q}{\sin(\angle AIC)} = \frac{R}{\sin(\angle AIB)} \]

মান বসিয়ে পাই:

\[ \frac{P}{\sin\left(90^\circ + \frac{A}{2}\right)} = \frac{Q}{\sin\left(90^\circ + \frac{B}{2}\right)} = \frac{R}{\sin\left(90^\circ + \frac{C}{2}\right)} \]

আমরা জানি, $\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta$। এই অভেদ ব্যবহার করে পাই:

\[ \frac{P}{\cos\left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{Q}{\cos\left(\frac{B}{2}\right)} = \frac{R}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)} \]

সুতরাং, P:Q:R এর অনুপাত হবে $\cos\left(\frac{A}{2}\right):\cos\left(\frac{B}{2}\right):\cos\left(\frac{C}{2}\right)$।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 769

Practice

বহুবিধ বলের কার্যকারিতা

বহুবিধ বলের কার্যকারিতা হলো একাধিক বল একত্রিত হয়ে একটি সমষ্টিগত বল তৈরি করার প্রক্রিয়া। যখন বিভিন্ন ধরনের বল একত্রিত হয়ে একটি ফলস্বরূপ বল তৈরি করে, তখন তাকে বহুবিধ বল বলা হয়। এই ফলস্বরূপ বল বস্তুটির গতির পরিবর্তন বা অবস্থান পরিবর্তনে সহায়তা করে।

১. বহুবিধ বলের ধারণা

বহুবিধ বল বা ফলস্বরূপ বল (Resultant Force) হল একাধিক বলের সমষ্টি যা কোনো নির্দিষ্ট সিস্টেমে প্রভাব ফেলে। একাধিক বলের প্রভাবকে একটি একক বলের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যার মান এবং দিক সেই সিস্টেমের কার্যকারিতা নির্ধারণ করে।
ভেক্টর গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে বিভিন্ন বলের সমষ্টি বের করা হয়। ভেক্টর যোগফলের মাধ্যমে আমরা বিভিন্ন বলের গতি এবং দিক বিশ্লেষণ করতে পারি।

২. বহুবিধ বলের যোগফল (Vector Addition)

বিভিন্ন বল একত্রিত হওয়ার পর, তাদের যোগফল নির্ধারণ করতে ভেক্টর যোগফল ব্যবহার করা হয়। ভেক্টর যোগফলে, দুটি বা তার বেশি বলের আকার এবং দিক যোগ করা হয়।
একাধিক বলের যোগফল বের করতে কিছু পদ্ধতি রয়েছে:
- গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি: বলের ভেক্টরগুলি গ্রাফের মাধ্যমে যোগ করা হয়, যেখানে প্রতিটি বলকে একটি ভেক্টর হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।
- আলজেব্রিক পদ্ধতি: ভেক্টরের একক উপাদান (অক্স, অক্ষাংশ, ও ভারসাম্য) দিয়ে প্রতিটি বলের প্রভাব যোগ করা হয়।

৩. বহুবিধ বলের প্রভাব

যথার্থ বলের প্রভাব: যখন একাধিক বল কোনো বস্তুতে প্রভাবিত করে, তখন এর ফলে বস্তুটির গতি, অবস্থান বা অবস্থার পরিবর্তন ঘটতে পারে।
ফলস্বরূপ বল (Resultant Force): একাধিক বলের সমষ্টি হল ফলস্বরূপ বল, যা বস্তুটির মোট প্রভাব প্রদর্শন করে।
- যদি সমস্ত বলের ফলস্বরূপ যোগফল শূন্য হয়, তাহলে বস্তুটি স্থির থাকে।
- যদি ফলস্বরূপ বল শূন্য না হয়, তাহলে বস্তুটির গতি বৃদ্ধি বা দিক পরিবর্তন হবে।

৪. বহুবিধ বলের সমীকরণ

বিভিন্ন বলের সমষ্টি বের করতে ভেক্টর সমীকরণ ব্যবহার করা হয়:
\[
\text{ফলস্বরূপ বল (Resultant Force)} = F_1 + F_2 + \dots + F_n
\]
এখানে, $ F_1, F_2, \dots, F_n $ বিভিন্ন বল যা বস্তুতে প্রভাবিত করে।

৫. বহুবিধ বলের ভারসাম্য (Equilibrium of Multiple Forces)

একটি বস্তু ভারসাম্য অবস্থায় থাকবে যখন তার উপরে প্রযোজ্য সকল বলের যোগফল শূন্য হবে। এটি ভারসাম্য শর্ত বলে পরিচিত।
ভারসাম্য শর্ত অনুযায়ী, একাধিক বল যদি একটি বস্তুতে প্রভাবিত করে, তবে তাদের ফলস্বরূপ যোগফল শূন্য হতে হবে।
ভারসাম্য পরীক্ষার জন্য:
\[
\sum F_x = 0 \quad \text{এবং} \quad \sum F_y = 0
\]
অর্থাৎ, সকল অনুভূমিক এবং 수직 বলের যোগফল শূন্য হতে হবে।

৬. বহুবিধ বলের উদাহরণ

দুইটি বলের যোগফল: যদি একটি বল $ 10 , \text{N} $ পূর্ব দিকে এবং অপরটি $ 10 , \text{N} $ পশ্চিম দিকে প্রভাবিত করে, তাদের ফলস্বরূপ বল হবে $ 10 , \text{N} $ পশ্চিম-পূর্ব দিকে।
একাধিক বলের সমষ্টি: যদি ৩টি বল প্রভাবিত করে, একটির মান $ 10 , \text{N} $, দ্বিতীয়টির $ 20 , \text{N} $, এবং তৃতীয়টির $ 15 , \text{N} $, তবে ভেক্টর যোগফল প্রয়োগ করে একটি সমষ্টিগত ফলস্বরূপ বল বের করা হবে।

সারাংশে, বহুবিধ বলের কার্যকারিতা বোঝা প্রয়োজন কেননা একাধিক বলের প্রভাব একটি বস্তুতে ব্যাপক পরিবর্তন ঘটাতে পারে। সঠিকভাবে তাদের যোগফল বের করে, বস্তুটির গতির পরিবর্তন এবং অবস্থানের বিশ্লেষণ করা সম্ভব হয়।

Related Question

View All

5 একক দূরত্বে A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত 9
এবং 5 একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়-
i. অসদৃশ হলে লব্ধির মান 4 একক
ii. সদৃশ এবং লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে $B C = \frac{45}{14}$ একক
iii. সদৃশ হলে লব্ধির মান 14 একক
নিচের কোনটি সঠিক?

Created: 5 days ago | Updated: 5 days ago

Updated: 5 days ago

ক

i ও ii
খ

i ও iii
গ

ii ও iii
ঘ

i, ii ও iii

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র বহুবিধ বলের কার্যকারিতা এইচএসসি

△ ABC এর কৌণিক বিন্দু A, B ও C কে যথাক্রমে P, Q এবং R মানের তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল। লব্ধি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রগামী হলে-

Created: 5 days ago | Updated: 5 days ago

Updated: 5 days ago

ক

$P : Q : R = \sin A : \sin B : \sin C$
খ

$P : Q : R = \tan A : \tan B : \tan C$
গ

$P : Q : R = \sin 2 A : \sin 2 B : \sin 2 C$
ঘ

$P : Q : R = 1 : 1 : 1$

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র বহুবিধ বলের কার্যকারিতা এইচএসসি

দুটি সমান বল P পরস্পর 60° কোণে একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করল্ব, এদের লব্ধি কত?

Created: 5 days ago | Updated: 5 days ago

Updated: 5 days ago

ক

3P
খ

2P
গ

$\sqrt{3} P$
ঘ

$\sqrt{2} P$

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র বহুবিধ বলের কার্যকারিতা এইচএসসি

P ও মানের দুটি বল পরস্পর 45° কোণে কোনো একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত। এদের লব্ধি 16N, P বলের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। Q বলের মান কত?

Created: 5 days ago | Updated: 5 days ago

Updated: 5 days ago

ক

$8 \sqrt{2} N$
খ

$4 \sqrt{2} N$
গ

$32 \sqrt{2} N$
ঘ

8N

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র বহুবিধ বলের কার্যকারিতা এইচএসসি

30 মিটার লম্বা AB দণ্ডের A প্রান্তে 20 kg ওজন এবং B প্রান্তে P kg ওজন ঝুলানো আছে। তাদের লদ্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। AC এর দৈর্ঘ্য 20 মিটার হলে P এর মান কত?

2 Exams

Created: 5 days ago | Updated: 1 day ago

Updated: 1 day ago

ক

15 kg
খ

20 kg
গ

30 kg
ঘ

40 kg

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র উচ্চতর গণিত বহুবিধ বলের কার্যকারিতা লিভার (Levers) এবং তার প্রকারভেদ এইচএসসি JU A Unit - 2023 CMB - 2021

P বলের উপাংশদ্বয়ের P এর সাথে $15^{\circ}$ ও $45^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করে। P বলের একটি উপাংশ কোনটি?

Created: 5 days ago | Updated: 5 days ago

Updated: 5 days ago

ক

$\frac{\sqrt{2} P}{\sqrt{3}}$
খ

$\frac{2 P}{\sqrt{3}}$
গ

$\frac{\sqrt{3} P}{\sqrt{2}}$
ঘ

$\frac{\sqrt{3} P}{2}$

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র বহুবিধ বলের কার্যকারিতা এইচএসসি

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

১. বহুবিধ বলের ধারণা

২. বহুবিধ বলের যোগফল (Vector Addition)

৩. বহুবিধ বলের প্রভাব

৪. বহুবিধ বলের সমীকরণ

৫. বহুবিধ বলের ভারসাম্য (Equilibrium of Multiple Forces)

৬. বহুবিধ বলের উদাহরণ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion