P,Q,R তিনটি বল ABC ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র I বিন্দুতে যথাক্রমে IA, IB, IC রেখা বরাবর ক্রিয়া করে সামাবস্থায় আছে তাহলে P:Q:R এর মান কত?

যখন তিনটি সমতলীয় বল একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় থাকে, তখন ল্যামির উপপাদ্য (Lami's Theorem) প্রয়োগ করা যায়। ল্যামির উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি বল অন্য দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমানুপাতিক হয়।

এখানে P, Q, R তিনটি বল ABC ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র I বিন্দুতে যথাক্রমে IA, IB, IC রেখা বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় আছে।

আমরা জানি যে, ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র (incenter) হলো কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু। অর্থাৎ, IA, IB, IC হলো যথাক্রমে কোণ A, B, C-এর সমদ্বিখণ্ডক।

এখন, IA, IB এবং IC রেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণগুলি নির্ণয় করতে হবে:

১. \(\angle BIC\): ত্রিভুজ BIC-এ,

\(\angle IBC = \frac{B}{2}\) এবং \(\angle ICB = \frac{C}{2}\)

সুতরাং, \(\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB)\)

\(\angle BIC = 180^\circ - \left(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}\right)\)

\(\angle BIC = 180^\circ - \frac{B+C}{2}\)

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি \((A+B+C = 180^\circ)\)। অতএব, \(B+C = 180^\circ - A\)।

তাহলে, \(\angle BIC = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2}\)

\(\angle BIC = 180^\circ - 90^\circ + \frac{A}{2}\)

\(\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}\)

২. একইভাবে, \(\angle AIC = 90^\circ + \frac{B}{2}\)

৩. এবং, \(\angle AIB = 90^\circ + \frac{C}{2}\)

ল্যামির উপপাদ্য অনুযায়ী:

\[ \frac{P}{\sin(\angle BIC)} = \frac{Q}{\sin(\angle AIC)} = \frac{R}{\sin(\angle AIB)} \]

মান বসিয়ে পাই:

\[ \frac{P}{\sin\left(90^\circ + \frac{A}{2}\right)} = \frac{Q}{\sin\left(90^\circ + \frac{B}{2}\right)} = \frac{R}{\sin\left(90^\circ + \frac{C}{2}\right)} \]

আমরা জানি, \(\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta\)। এই অভেদ ব্যবহার করে পাই:

\[ \frac{P}{\cos\left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{Q}{\cos\left(\frac{B}{2}\right)} = \frac{R}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)} \]

সুতরাং, P:Q:R এর অনুপাত হবে \(\cos\left(\frac{A}{2}\right):\cos\left(\frac{B}{2}\right):\cos\left(\frac{C}{2}\right)\)।